Τα μαθηματικά οικοδομήματα είναι κατά κανόνα λογικές δομές της σκέψης ανοιχτές και επεκτάσιμες. Σπανίως ολοκληρώνονται, καλύπτονται, σκεπάζονται, έτσι ώστε να σταματά η έρευνα και η αναζήτηση. Δεν εννοώ βέβαια τις περιπτώσεις στις οποίες ένας κλάδος των μαθηματικών παρουσιάζει μια στασιμότητα στη διατύπωση σημαντικών αποτελεσμάτων, ορόσημων του κλάδου ούτε την περίπτωση έλλειψης επιστημονικού ενδιαφέροντος στο αντικείμενο. Εννοώ την ομαλή ροή και το ενδιαφέρον των μαθηματικών ερευνητών οι οποίοι καθορίζουν τα προβλήματά τους τα οποία δεν είναι μόνο αυτά που επιβάλλουν οι εφαρμογές στις άλλες επιστήμες αλλά και αυτά τα οποία αναδεικνύει η διαίσθηση των ερευνητών ότι κάτι σημαντικό υπάρχει εγγενώς. Στο παιχνίδι αυτό της τέχνης της μοντελοποίησης και της δόμησης συνήθως εθελουσίως αυτό-βασανίζεται η σκέψη, τρέφεται, αλυσοδένεται και αυτό-απελευθερώνεται και αυτό-ικανοποιείται και αυτό-ανανεώνεται, ώστε να ξεκινά σε νέες επιλύσεις. Αυτό σημαίνει ανοιχτό και επεκτάσιμο, άδολο και ασυμβίβαστο, καθαρό και επαναστατικό. Γνώμη μου βέβαια!
Το Θεώρημα είναι το επιστέγασμα μιας απόδειξης. Είναι το καταληκτικό σημείο μιας διαδικασίας λογικής και μη αμφισβητούμενης στο οποίο σημείο θα καταλήξουμε ξανά και ξανά με τις ίδιες συνθήκες και προϋποθέσεις. Επομένως η σκέψη μας μπορεί να προχωρήσει από το θεώρημα και πέρα ή καλύτερα, στηριζόμενη στο θεώρημα να προχωρήσει χωρίς να είναι φορτωμένη από τη διαδικασία απόδειξης και ανάδειξης του θεωρήματος. Στην αναρρίχηση, κάθετη ή οριζόντια ή προς οποιαδήποτε άλλη διάσταση, το θεώρημα είναι το σημείο στο οποίο μπορούμε να παραμείνουμε αυτοτελώς, σαν όαση δηλαδή, ή να πάρουμε δυο ανάσες και να ξεκινήσουμε. Μερικά θεωρήματα ευτύχησαν, στη διαδικασία της απόδειξής τους, να αναδείξουν μέθοδο ή διαδικασία απόδειξης! Γεμίζουν επομένως τη φαρέτρα της Γνώσης. Αυτή είναι λοιπόν η ουσία των θεωρημάτων, εργαλείο και αντικείμενο εργασίας, σμιλευτής και σμίλευμα, λίθος πελεκημένος με λίθο.
Σημαντικό στοιχείο της διαδικασίας δόμησης είναι το παράδειγμα αλλά ακόμη πιο σημαντικό είναι το αντιπαράδειγμα. Το αντιπαράδειγμα ενέχει επίσης τη θέση του θεωρήματος ή, για να είμαστε ακριβέστεροι, είναι ένα ‘αρνητικό θεώρημα’ δηλαδή ένα θεώρημα αρνητικά διατυπωμένο. Εδώ θα ήθελα να αναφέρω ότι η ‘μη φυσιολογική’ μέθοδος η οποία ονομάζεται «εις άτοπον απαγωγή», στηρίζεται ακριβώς στο ότι ‘αποκλείει το αντιπαράδειγμα’. Αναδεικνύεται και εδώ η ουσία της διαδικασίας. Η ουσία της βασικότατης ιδιοφυούς χαρακτηριστικής και πολυχρησιμοποιούμενης μεθόδου.
Αν διερωτάται κανείς γιατί τα αναφέρω τα παραπάνω, γίνομαι αμέσως σαφής: Όταν έχει κανείς μια επιστήμη στην οποία αναγνωρίζει λογική, σαφήνεια, επιστημονική τεκμηρίωση και τόσες άλλες αρετές, γιατί να μην αντλεί όσο το δυνατόν περισσότερα στοιχεία από αυτήν; Δεν εννοώ βέβαια μόνο τα προφανή στοιχεία της τα οποία είναι τα πορίσματά της αλλά και άλλα στοιχεία τα οποία πιθανόν να λανθάνουν της προσοχής. Τέτοια στοιχεία είναι η «ουσία των πορισμάτων της» και οι «ειδικές διαδικασίες» τις οποίες χρησιμοποιεί. Ως παράδειγμα αναφέρω τη «χρυσή τομή» η οποία διασώθηκε από την αρχαιότητα ως ‘σχήμα λόγου’. Γιατί λοιπόν να μη χρησιμοποιηθεί ως ουσία; Θα διευκόλυνε άπειρες καταστάσεις.
Και επειδή το παράδειγμα είναι βασικό στοιχείο αναζήτησης, έρευνας και επιβεβαίωσης, ας αναφέρω δυο παραδείγματα εφαρμογής των παραπάνω στην αναρρίχηση, στην ορειβασία και ότι άλλο μπορεί να έχει σχέση:
1. Ο αναρριχητής βρίσκει σημεία που μπορεί να κρεμαστεί με το ένα δαχτυλάκι. Για πιο απλή λογική και εφαρμόσιμη περίπτωση ας πάρουμε καρφωμένους γάντζους! Εκεί μπορείς να στηριχτείς αυτοτελώς. Να εφορμήσεις.
2. Ψαχουλεύοντας ο πρωτοπόρος αναρριχητής, εξετάζει όλα τα πιθανά σημεία στήριξης και προπαντός απορρίπτει όλα τα σημεία τα οποία δεν είναι κατάλληλα! Αυτό είναι η εφαρμογή του αντιπαραδείγματος
Σαν συμπέρασμα, μπορεί κανείς να αντλεί συμπεράσματα, μεθόδους, διαδικασίες και οτιδήποτε χρήσιμο σε μια επιστήμη έστω και αν αυτό είναι μικρό, ασήμαντο, αδιόρατο. Ειδικότερα από την επιστήμη των μαθηματικών, η οποία απασχόλησε τεράστια μυαλά από την αρχαιότητα, μπορεί να αντλήσεις κανείς «μικρά μαθηματικά μοντέλα» αρκεί να τα αναζητήσει κάτω από τα ισχυρά, τα φανταχτερά και τα κυρίαρχα συμπεράσματα
Θωμά Βουγιουκλή
